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带自由边界欧拉方程的几何分析与先验估计

发布时间:2019-11-27 21:32 来源:未知 编辑:admin

  1755年,瑞士数学家和物理学家欧拉在《流体运动的一般原理》一书中首次提出无粘性流体动力学中最重要的基本方程欧拉方程。目前,欧拉方程在工业、农业、交通运输、天文学、地学、生物学和医学等领域已得到广泛应用,且正在进一步深入。

  众多学者针对欧拉方程开展了相关的研究工作,但对于该问题在表面张力趋于零的极限状态的研究,目前尚不成熟。V.Arnold在其1966年开创性的论文中指出,无粘性流体力学欧拉方程可被视为一组体积维护胚上的大地线微分方程。基于这种观点,通过讨论在拉格朗日坐标系下的自由边界问题的欧拉方程的求解,线性化拉格朗日公式解,从而对带自由边界的欧拉方程进行几何分析。

  积分区域和边界的几何性质分析对能量估计非常关键。借助微分几何学,首先计算求解区域相关的几何演化量,然后在假设Rayleigh-Taylor符号条件成立的情况下,可分别在表面张力有无的情况下推导出局部能量估计,并得到收敛性定理,同时获得该问题解的近似估计。若Rayleigh-Taylor符号条件成立,当表面张力趋于零时,该问题的解收敛于具零表面张力的欧拉流。另外,在能量估计的基础上,可以利用迭代法构造解的存在性证明,目前此方面的研究正在继续。

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