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由矩阵的初等变换求逆矩阵的原理?我想了很久都没想明白求大家帮

发布时间:2019-09-06 16:22 来源:未知 编辑:admin

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  推荐于2017-11-23展开全部首先,任何一个可逆矩阵都可以写成一系列初等矩阵的乘积。

  其次,对矩阵A进行行初等变换,相当于左乘以一和初等矩阵,对A进行列初等变换,相当于右乘以一个初等矩阵。

  最后,对可逆矩阵A进行一系列的初等行变换,一定可以把A化为单位矩阵E,即存在矩阵P,使得PA=E。所以对分块矩阵(A,E)进行一系列初等行变换,化A为E,此时对E也进行了同样的初等行变换,所以就相当于对(A,E)左乘以矩阵P,所以P(A,E)=(PA,P)=(E,P),P就是A的逆矩阵。

  2、对矩阵A进行行初等变换,相当于左乘以一和初等矩阵,对A进行列初等变换,相当于右乘以一个初等矩阵。

  3、对可逆矩阵A进行一系列的初等行变换,一定可以把A化为单位矩阵E,即存在矩阵P,使得PA=E。

  所以对分块矩阵(A,E)进行一系列初等行变换,化A为E,此时对E也进行了同样的初等行变换,所以就相当于对(A,E)左乘以矩阵P,所以P(A,E)=(PA,P)=(E,P),P就是A的逆矩阵。

  同样地,如果对矩阵(A)(E)只进行初等列变换,化A为E,则E同时变换为A的逆矩阵。

  若矩阵A经过有限次的初等行变换变为矩阵B,则矩阵A与矩阵B行等价;若矩阵A经过有限次的初等列变换变为矩阵B,则矩阵A与矩阵B列等价;若矩阵A经过有限次的初等变换变为矩阵B,则矩阵A与矩阵B等价。

  1、设A是一个m×n矩阵,对A施行一次初等行变换,其结果等价于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵;对A施行一次初等列变换,其结果等价于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵。反之亦然。

  2、方阵A可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵P1,P2,......Pn,使得P1P2...Pn.

  3、m×n矩阵A与B等价当且仅当存在m阶可逆矩阵P与n阶可逆矩阵Q使得B=PAQ。

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