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分块矩阵的行列式是否=拉普拉斯展开?

发布时间:2019-07-12 19:23 来源:未知 编辑:admin

  严格来说,分块矩阵的行列式与拉普拉斯展开并不相等, 但是拉普拉斯展开可以认为是分块矩阵的行列式展开的特例。 二者之间相差(-1)^(m*n)

  设两方阵A(n*n),B(m*m)在副对角线上, 通过矩阵的列变换将A,B移到主对角线上,然后用拉普拉斯展开。

  A的第一列列变换m次, A的第二列列变换也是m次,依此类推, A的第n列的列变换也是m次,

  拉普拉斯展开(或称拉普拉斯公式)是一个关于行列式的展开式。将一个n阶矩阵B的行列式进行拉普拉斯展开,即是将其表示成关于矩阵B的某一行(或某一列)的n个元素的 余子式的和。行列式的拉普拉斯展开一般被简称为行列式按某一行(或按某一列)的展开。

  拉普拉斯定理建立在子式和余子式的基础上,说明了如果将B关于某k行的每一个子式和对应的代数余子式的乘积加起来,那么得到的仍然是B的行列式。

  分块矩阵的行列式展开≠拉普拉斯展开, 但拉普拉斯展开可以认为是分块矩阵的行列式展开的特例。 应该是(-1)^(m*n),而不是(-1)^(m+n) (以下说明可以意会,不够严密) 两方阵A(n*n),B(m*m)在副对角线上, 通过列变换将A,B移到主对角线上,然后用拉普拉斯展开。 A从副对角线位置移到主对角线位置后, A的第一列(包括O第一列,在整个行列式中是第m+1列)仍在第一列,列变换m次, A的第二列(包括O第二列,在整个行列式中是第m+2列)仍在第二列,列变换也是m次, ……, A的第n列(包括O第n列,在整个行列式中是第m+n列,也是最后一列)仍在第n列,列变换也是m次, 这样列变换共进行了n个m次,即m*n次,

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